【理論】令和1年　問16｜対称三相RLC負荷回路における電源電流および有効電力の計算問題

例題：リアクタンスの計算

周波数50Hzの電源に接続された100mHのコイルと50μFのコンデンサのリアクタンスを求めよ。

解答：

コイルのリアクタンス：

\[ \begin{aligned} X_L &= 2\pi f L \\[10pt] &= 2\pi \times 50 \times 0.1 \\[10pt] &= 31.4 \; [\Omega] \\[10pt] \end{aligned} \]

コンデンサのリアクタンス：

\[ \begin{aligned} X_C &= \frac{1}{2\pi f C} \\[10pt] &= \frac{1}{2\pi \times 50 \times 50 \times 10^{-6}} \\[10pt] &= 63.7 \; [\Omega] \\[10pt] \end{aligned} \]

例題：RLC並列回路の解析

100V、50Hzの電源に、抵抗20Ω、インダクタンス100mH、キャパシタンス50μFの並列回路が接続されている。合成インピーダンス、電流、力率を求めよ。

解答：

各リアクタンスを計算します：

\[ \begin{aligned} X_L &= 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 0.1 = 31.4 \; [\Omega] \\[10pt] X_C &= \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 50 \times 10^{-6}} = 63.7 \; [\Omega] \\[10pt] \end{aligned} \]

各素子の電流：

\[ \begin{aligned} I_R &= \frac{V}{R} = \frac{100}{20} = 5 \; [\mathrm{A}] \\[10pt] I_L &= \frac{V}{X_L} = \frac{100}{31.4} = 3.18 \; [\mathrm{A}] \; (\text{電圧より90°遅れ}) \\[10pt] I_C &= \frac{V}{X_C} = \frac{100}{63.7} = 1.57 \; [\mathrm{A}] \; (\text{電圧より90°進み}) \\[10pt] \end{aligned} \]

合成電流の計算（実部と虚部に分けて）：

\[ \begin{aligned} I &= I_R + (I_C - I_L)\angle 90° \\[10pt] &= 5 + (1.57 - 3.18)\angle 90° \\[10pt] &= 5 - 1.61\mathrm{j} \\[10pt] |I| &= \sqrt{5^2 + (-1.61)^2} = \sqrt{25 + 2.59} = 5.24 \; [\mathrm{A}] \\[10pt] \end{aligned} \]

力率：

\[ \begin{aligned} \cos\phi &= \frac{I_R}{|I|} = \frac{5}{5.24} = 0.95 \; (\text{遅れ}) \\[10pt] \end{aligned} \]

合成インピーダンス：

\[ \begin{aligned} Z &= \frac{V}{I} = \frac{100}{5 - 1.61\mathrm{j}} \\[10pt] &= \frac{100(5 + 1.61\mathrm{j})}{(5 - 1.61\mathrm{j})(5 + 1.61\mathrm{j})} \\[10pt] &= \frac{500 + 161\mathrm{j}}{25 + 2.59} \\[10pt] &= \frac{500 + 161\mathrm{j}}{27.59} \\[10pt] &= 18.12 + 5.84\mathrm{j} \; [\Omega] \\[10pt] |Z| &= \sqrt{18.12^2 + 5.84^2} = 19.1 \; [\Omega] \\[10pt] \end{aligned} \]

例題：三相RLC並列負荷の電力計算

200V（線間電圧）、50Hz、三相平衡Y結線の電源に、各相に抵抗50Ω、インダクタンス100mH、キャパシタンス40μFが並列に接続されている。全体の有効電力、無効電力、皮相電力、力率を求めよ。

解答：

Y結線の場合、相電圧は：

\[ \begin{aligned} V_P &= \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} = 115.5 \; [\mathrm{V}] \\[10pt] \end{aligned} \]

リアクタンスの計算：

\[ \begin{aligned} X_L &= 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 0.1 = 31.4 \; [\Omega] \\[10pt] X_C &= \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 40 \times 10^{-6}} = 79.6 \; [\Omega] \\[10pt] \end{aligned} \]

各素子の電流（一相あたり）：

\[ \begin{aligned} I_R &= \frac{V_P}{R} = \frac{115.5}{50} = 2.31 \; [\mathrm{A}] \\[10pt] I_L &= \frac{V_P}{X_L} = \frac{115.5}{31.4} = 3.68 \; [\mathrm{A}] \\[10pt] I_C &= \frac{V_P}{X_C} = \frac{115.5}{79.6} = 1.45 \; [\mathrm{A}] \\[10pt] \end{aligned} \]

一相あたりの有効電力：

\[ \begin{aligned} P_1 &= V_P I_R = 115.5 \times 2.31 = 266.8 \; [\mathrm{W}] \\[10pt] \end{aligned} \]

三相の有効電力：

\[ \begin{aligned} P_3 &= 3P_1 = 3 \times 266.8 = 800.4 \; [\mathrm{W}] \\[10pt] \end{aligned} \]

一相あたりの無効電力（インダクティブが正、キャパシティブが負）：

\[ \begin{aligned} Q_{1L} &= V_P I_L = 115.5 \times 3.68 = 425.0 \; [\mathrm{var}] \; \text{(遅れ)} \\[10pt] Q_{1C} &= -V_P I_C = -115.5 \times 1.45 = -167.5 \; [\mathrm{var}] \; \text{(進み)} \\[10pt] Q_1 &= Q_{1L} + Q_{1C} = 425.0 + (-167.5) = 257.5 \; [\mathrm{var}] \; \text{(正味遅れ)} \\[10pt] \end{aligned} \]

三相の無効電力：

\[ \begin{aligned} Q_3 &= 3Q_1 = 3 \times 257.5 = 772.5 \; [\mathrm{var}] \\[10pt] \end{aligned} \]

三相の皮相電力：

\[ \begin{aligned} S_3 &= \sqrt{P_3^2 + Q_3^2} \\[10pt] &= \sqrt{800.4^2 + 772.5^2} \\[10pt] &= \sqrt{640,640 + 596,756} \\[10pt] &= \sqrt{1,237,396} \\[10pt] &= 1,112 \; [\mathrm{VA}] \\[10pt] \end{aligned} \]

力率：

\[ \begin{aligned} \cos\phi &= \frac{P_3}{S_3} = \frac{800.4}{1,112} = 0.72 \; \text{(遅れ)} \\[10pt] \end{aligned} \]

例題：力率改善の計算

200V（線間電圧）、50Hz、三相平衡Y結線の負荷で、有効電力が10kW、力率が0.7（遅れ）である。力率を0.95（遅れ）まで改善するために必要なコンデンサの容量を求めよ。

解答：

現在の力率角と目標の力率角：

\[ \begin{aligned} \phi_1 &= \cos^{-1}(0.7) = 45.6° \\[10pt] \phi_2 &= \cos^{-1}(0.95) = 18.2° \\[10pt] \end{aligned} \]

必要なコンデンサの無効電力：

\[ \begin{aligned} Q_C &= P(\tan\phi_1 - \tan\phi_2) \\[10pt] &= 10,000 \times (\tan 45.6° - \tan 18.2°) \\[10pt] &= 10,000 \times (1.02 - 0.33) \\[10pt] &= 10,000 \times 0.69 \\[10pt] &= 6,900 \; [\mathrm{var}] \\[10pt] \end{aligned} \]

Y結線での相電圧：

\[ \begin{aligned} V_P &= \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} = 115.5 \; [\mathrm{V}] \\[10pt] \end{aligned} \]

各相に必要なコンデンサの無効電力：

\[ \begin{aligned} Q_{C1} &= \frac{Q_C}{3} = \frac{6,900}{3} = 2,300 \; [\mathrm{var}] \\[10pt] \end{aligned} \]

各相のコンデンサのリアクタンス：

\[ \begin{aligned} X_C &= \frac{V_P^2}{Q_{C1}} = \frac{115.5^2}{2,300} = 5.8 \; [\Omega] \\[10pt] \end{aligned} \]

各相に必要なキャパシタンス：

\[ \begin{aligned} C &= \frac{1}{2\pi f X_C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 5.8} = 549 \; [\mu\mathrm{F}] \\[10pt] \end{aligned} \]

よって、Y結線で各相に549μFのコンデンサを接続するか、Δ結線で各相に183μF（=549μF/3）のコンデンサを接続すれば良いことになります。

例題：共振周波数の計算

100mHのインダクタンスと40μFのキャパシタンスからなる回路の共振周波数を求めよ。

解答：

\[ \begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \\[10pt] &= \frac{1}{2\pi\sqrt{0.1 \times 40 \times 10^{-6}}} \\[10pt] &= \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-6}}} \\[10pt] &= \frac{1}{2\pi \times 2 \times 10^{-3}} \\[10pt] &= \frac{1}{4\pi \times 10^{-3}} \\[10pt] &= \frac{10^3}{4\pi} \\[10pt] &= 79.6 \; [\mathrm{Hz}] \\[10pt] \end{aligned} \]

この周波数では、回路のインピーダンス特性が大きく変化します。直列回路ではインピーダンスが最小になり、並列回路ではインピーダンスが最大になります。